Matematika SMA XII | Belajar Matematika dan Sains SMP-SMA

Latihan logaritma

06 Okt 2012 Tinggalkan komentar

by Raharja in Soal Latihan UN

Berikut soal-soal logaritma untuk latihan yang pertama :

Tentukan nilai-nilai dari

Integral Substitusi (Contoh)

14 Sep 2012 Tinggalkan komentar

by Raharja in Integral Tak Tentu

Nomor 1

$\int \sin^5xdx=\int (\sin^4x)(\sin x)dx=\int ((\sin^2x)^2)d(-\cos x)\\\\=-\int (1-\cos^2x)^2d(\cos x)=-\int(1-2 \cos^2x+ \cos^4x)d(\cos x)\\\\=-\cos x+\frac{2}{3}\cos^3x+\frac{1}{5}\cos^5x+C$

Soal-soal dan Pembahasan Matematika UN

22 Des 2011 2 Komentar

by Raharja in Soal Latihan UN

Nomor 1
Perhatikan premis-premis berikut !
1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding.

Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah ….

A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.
B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding.
C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding.
E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.

Penyelesaian :(jawab :A)

Nomor 2

Bentuk sederhana dari $\frac{\(5a^3b^{-2})^4}{\(5a^{-4}b^{-5})^{-2}}$ adalah …

$(A).5^6a^4b^{-18}\\(B).5^6a^4b^{2}\\(C).5^2a^4b^{2}\\(D).5^6ab^{-1}\\(E).5^6a^9b^{-1}$

Penyelesaian :

$\frac{\(5a^3b^{-2})^4}{\(5a^{-4}b^{-5})^{-2}}=\frac{5^4a^{12}b^{-8}}{5^{-2}a^{8}b^{10}}=5^{4-(-2)}a^{12-8}b^{-8-10}=5^{6}a^{4}b^{-18}$ (jawab : A)

Nomor 3

Bentuk sederhana dari $\frac{6(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}{2+\sqrt6}=...$

$(A).24+12\sqrt6 \\(B).-24+12\sqrt6 \\(C).24-12\sqrt6 \\(D).-24-\sqrt6 \\(E).-24-12\sqrt6$

Penyelesaian :

$\frac{6(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}{2+\sqrt6}=\frac{6(3^2-\(\sqrt5)^2)}{2+\sqrt6}=\frac{6(9-5)}{2+\sqrt6}=\frac{24}{2+\sqrt6} \\=\frac{24}{2+\sqrt6} \times \frac{2-\sqrt6}{2-\sqrt6}=\frac{24(2-\sqrt6)}{2^2-\(\sqrt6)^2}=\frac{24(2-\sqrt6)}{4-6}=-12(2-\sqrt6)\\=-24+12\sqrt6$

(jawab : B)

Nomor 4

Nilai dari $\frac{^{27}\log{9}+^2\log{3}\cdot ^{\sqrt3}\log{4}}{^3\log{2}-^3\log{18}}=...$

$(A).-\frac{14}{3}\\(B).-\frac{14}{6}\\(C).-\frac{14}{9}\\(D).\frac{14}{6}\\(E).\frac{14}{3}$

Penyelesaian :

$\frac{^{27}\log{9}+^2\log{3}\cdot ^{\sqrt3}\log{4}}{^3\log{2}-^3\log{18}}\\=\frac{^{3^3}\log{3^2}+^2\log{3}\cdot ^{3^{\(\frac{1}{2})}}\log{2^2}}{^3\log{\frac{2}{18}}}\\=\frac{\frac{2}{3}\(^{3}\log{3})+\frac{2}{\frac{1}{2}}\(\frac{\log{3}}{\log{2}}\cdot \frac{\log{2}}{\log{3}})}{^3\log{\frac{1}{9}}}\\=\frac{\frac{2}{3}\(1)+4\(1)}{^3\log{3^{-2}}}=\frac{4\frac{2}{3}}{-2}=-\frac{14}{6}$ (jawab : B)

Nomor 5

Grafik fungsi kuadrat menyinggung garis . Nilai b yang memenuhi adalah ….
A. -4
B. -3
C. 0
D. 3
E. 4

Penyelesaian :

Gradien garis adalah m = 3. Sedangkan gradien garis singgung kurva adalah nilai turunan f'(x) di titik singgung.

Karena , maka dengan x adalah nilai absis di titik singgung. Nilai x dapat dicari dengan mencari penyelesaian

$x^2+bx+4=3x+4\\\Rightarrow x^2+(b-3)x=0 \\\Rightarrow x(x+(b-3))=0$

Ada dua kemungkinan x=0 atau x=3-b .

Jika x=0, maka $2x+b=3 \Rightarrow 2(0)+b=3 \Rightarrow b=3$

Jika x=3-b, maka

$2x+b=3 \Rightarrow 2(3-b)+b=3 \Rightarrow 6-2b+b=3 \\ \Rightarrow -b=3-6 \Rightarrow b=3$

(jawab: D)

Nomor 6

Akar-akar persamaan kuadrat adalah α dan β . Jika α= 2β dan a > 0 maka nilai a =…

A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8

Penyelesaian :

Karena α dan β akar-akar dari maka
$\alpha +\beta =\frac{-(a-1)}{1}=1-a \\\alpha \beta =\frac{2}{1}=2$

Diketahui α= 2β , sehingga

$\alpha\beta=2\Rightarrow (2\beta)\beta=2\Rightarrow \beta^2=1\\\Rightarrow \beta^2-1=0\Rightarrow (\beta+1)(\beta-1)=0$

Sehingga β=-1 atau β=1.

Untuk β=-1, maka
$\alpha=2\beta=2(-1)=-2\\\Rightarrow \alpha+\beta=1-a\\\Rightarrow -2+(-1)=1-a \Rightarrow -3=1-a \Rightarrow a=4$

Untuk β=1, maka

$\alpha=2\beta=2(1)=2\\\Rightarrow \alpha+\beta=1-a\\\Rightarrow 2+1=1-a \Rightarrow 3=1-a \Rightarrow a=-2$

Karena a>0, maka dipilih a=4. (jawab : C)

Nomor 7

Jika p dan q adalah akar-akar persamaan , maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p+1 dan 2q+1 adalah…

$(A).x^2+10x-11=0\\(B).x^2-10x+7=0\\(C).x^2-10x-11=0\\(D).x^2-12x+7=0\\(E).x^2-12x-7=0$

Penyelesaian:

Dari akar-akar x=2p+1, kita dapatkan

$x=2p+1\Rightarrow 2p+1=x\Rightarrow 2p=x-1\Rightarrow p=\frac{x-1}{2}$

Pada persamaan , kita substitusikan (sulihkan) x dengan p :

$p^2-5p-1=0\Rightarrow \left \{ \frac{x-1}{2} \right \}^2-5\left \{ \frac{x-1}{2} \right \}-1=0\\\Rightarrow \frac{(x^2-2x+1)}{4}- \frac{5(x-1)}{2} -1=0 \cdots\cdots\cdots \times4 \\\Rightarrow (x^2-2x+1)-10(x-1)-4=0 \\\Rightarrow x^2-12x+7=0$ (jawab : D)

Nomor 8 :

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $\(x-4)^2+\(y-5)^2=8$ yang sejajar dengan garis adalah ….

$(A).y-7x-13=0\\(B).y+7x+3=0\\(C).-y-7x+3=0\\(D).-y+7x+3=0\\(E).y-7x+3=0$

Penyelesaian :

Yang sejajar dengan garis berarti gradiennya sama dengan garis . Sedangkan gradien garis adalah :

$y=7x-5 \Rightarrow$ gradien m = 7.

Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud mempunyai gradien m=7 karena sejajar.

Persamaan garis singgung lingkaran $\(x-a)^2+\(y-b)^2=r^2$ yang gradiennya m adalah :

$y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^2}$ , sehingga jika persamaan lingkarannya $\(x-4)^2+\(y-5)^2=8$ dan m=7 maka persamaan garis singgungnya adalah :

$y-5=7(x-4)\pm \sqrt{8}\sqrt{1+7^2}\\\Rightarrow y-5=7x-28 \pm \sqrt{8}\sqrt{50}\\\Rightarrow y-7x+23= \pm \sqrt{400} \\\Rightarrow y-7x+23= \pm 20\left\{\begin{matrix} \Rightarrow y-7x+23=20\Rightarrow y-7x+3=0\\ \Rightarrow y-7x+23=-20\Rightarrow y-7x+43=0 \end{matrix}\right.$

(jawab: E)

Nomor 9

Diketahui fungsi $f(x)=\frac{x+1}{x-3},x\neq 3$ dan . Nilai komposisi fungsi $(g \circ f)(2)=...$

A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 E. 8

Penyelesaian :

Pertama :

$f(2)=\frac{2+1}{2-3}=-3$

Kemudian :

$(g \circ f)(2)=g(f(2))=g(-3)=(-3)^2+(-3)+1=7$ (jawab : D)

Nomor 10

Diketahui $f(x)=\frac{1-5x}{x+2},x\neq 2$ . Jika $f^{-1}(x)$ adalah invers dari , maka nilai $f^{-1}(-3)=...$

$(A). \frac{4}{3}\\(B).2\\(C). \frac{5}{2}\\(D).3\\(E). \frac{7}{2}$

Penyelesaian :

Jika $f(x)=\frac{1-5x}{x+2}$ maka $\frac{1-5f^{-1}(x)}{f^{-1}(x)+2}=x$ .

Misal $y=f^{-1}(x)$ , maka $\frac{1-5y}{y+2}=x$
Jadi untuk mencari $f^{-1}(-3)$ dapat melalui :

$\frac{1-5y}{y+2}=-3\\\Rightarrow 1-5y=-3(y+2)\\\Rightarrow 1-5y=-3y-6\\\Rightarrow -2y=-7\\\Rightarrow y=\frac{-7}{-2}=\frac{7}{2}$ (jawab: C)

Nomor 11

Suku banyak dibagi sisanya 6, dan dibagi sisanya 24. Nilai
$(A).0\\(B).2\\(C).3\\(D).6\\(E).9$

Penyelesaian :

bersisa 6, maka

$(x+1)=0\Rightarrow x=-1\\\Rightarrow f(-1)=6\\\Rightarrow 2(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+2=6\\\Rightarrow -2+a-b+2=6\\\Rightarrow a-b=6 \cdots \cdots \cdots \cdots(i)$

bersisa 24, maka

$(x-2)=0\Rightarrow x=2\\\Rightarrow f(2)=24\\\Rightarrow 2(2)^3+a(2)^2+b(2)+2=6\\\Rightarrow 16+4a+2b+2=24\\\Rightarrow 4a+2b=6\\\Rightarrow 2a+b=3 \cdots \cdots \cdots \cdots(ii)$

Dari (i) dan (ii) diperoleh :

$\begin{matrix} a-b=6 \\(+) 2a+b=3 \end{matrix}\\\Rightarrow 3a+0=9\Rightarrow a=3\\\\a-b=6\\\Rightarrow 3-b=6\Rightarrow -b=6-3\Rightarrow b=-3 \\\\\therefore 2a-b=2(3)-(-3)=9$ (jawab:E)

Nomor 12

Toko A, toko B, dan toko Cmenjual sepeda. Ketiga toko tersebut selalu belanja di sebuah distributor yang sama. Toko A harus membayar Rp5.500.000,00 untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus membayar Rp3.000.000,00 untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II, maka toko C harus membayar sebesar….

A. Rp3.500.000,00 D.Rp5.000.000

B. Rp4.000.000,00 E. Rp5.500.000

C. Rp4.500.000,00

Penyelesaian :

Misal : x=harga 1 sepeda jenis I

y=harga 1 sepeda jenis II

Maka :

$\begin{matrix} A:&5x+4y=5.500.000&\times 1&\Rightarrow 5x+4y=5.500.000&\\ B:&3x+2y=3.000.000&\times 2&\Rightarrow 6x+4y=6.000.000&-\\&&& -x+0=-500.000\\&&&x=500.000& \end{matrix}\\\\3x+2y=3.000.000\\\Rightarrow 3(500.000)+2y=3.000.000\\\Rightarrow 1.500.000+2y=3.000.000\\\Rightarrow 2y=3.000.000-1.500.000=1.500.000\\\Rightarrow y=750.000\\\\\begin{matrix} C:6x+2y &=6(500.000)+2(750.000)=4.500.000 \end{matrix}$

(jawab: C)

Nomor 13
Luas daerah parkir 1.760 m² . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m² . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraaan, biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah ….
A. Rp 176.000,00
B. Rp 200.000,00
C. Rp 260.000,00
D. Rp 300.000,00
E. Rp 340.000,00

Penyelesaian :

	Mobil Kecil	Mobil Besar	Daya Tampung
Banyak (buah)	x	Y	200
Luas Parkir (m²)	4	20	1760
Keuntungan (rupiah)	1000	2000

Maka dapat kita bentuk sistem pertidaksamaan :

$x+y\leqslant 200 \cdots \cdots \cdots \cdots(i)\\4x+20y\leqslant 1760\Rightarrow x+5y\leqslant 440 \cdots \cdots \cdots \cdots(ii)$

Dan karena x dan y tidak mungkin negatif (banyak kendaraan), maka :

$x\geqslant 0;y\geqslant 0$

Lalu fungsi yang akan dioptimalkan adalah .

Pertama digambar daerah yang ditunjukkan sistem pertidaksamaan :

Gambar garis :

$x+y=200\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\Rightarrow y=200\Rightarrow (0,200)\\ y=0\Rightarrow x=200\Rightarrow (200,0) \end{matrix}\right.$

Gambar garis :

$x+5y=440\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\Rightarrow 5y=440\Rightarrow y=88\Rightarrow (0,88)\\ y=0\Rightarrow x=440\Rightarrow (440,0) \end{matrix}\right.$

Titik potong kedua garis dapat dicari sbb:

$\begin{matrix} x+y=200&&\Rightarrow x+60=200\\ x+5y=440(-)&&\Rightarrow x=140\\ \overline{0-4y=-240}&&\\ y=60&&\Rightarrow (140,60) \end{matrix}$

Sehingga gambarnya :

pl1

Pengujian titik-titik pojok :

Titik Pojok	F(x,y)=1.000x + 2.000y
A(200,0)	1.000(200)+0	=200.000
B(140,60)	1.000(140)+2.000(60)	=260.000
C(0,88)	0+2.000(88)	=176.000

Jadi yang maksimumnya Rp260.000,00. (jawab : C)

Nomor 14

Diketahui matrik-matrik :

$A=\begin{bmatrix} -c &2 \\ 1&0 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 4 &a \\ b+5&-6 \end{bmatrix} ,C=\begin{bmatrix} -1 &3 \\ 0&2 \end{bmatrix}, dan,D=\begin{bmatrix} 4 &b \\ -2&3 \end{bmatrix}$ .

Jika 2A-B=CD, maka nilai a+b+c=….

A. -6
B. -2
C. 0
D. 1
E. 8

Penyelesaian :

$2A-B=CD\\\\\Rightarrow 2\begin{bmatrix}-c &2 \\1&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4&a\\b-5&-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&3 \\ 0&2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}4&b\\-2&3\end{bmatrix} \\\\\Rightarrow \begin{bmatrix}-2c-4 &2-a \\2-(b-5)&0-(-6)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(-1)(4)+(3)(-2)&(-1)(b)+(3)(3)\\(0)(4)+(2)(-2)&(0)(b)+(2)(3)\end{bmatrix} \\\\\Rightarrow \begin{bmatrix}-2c-4 &2-a \\-3-b&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-10&-b+9\\-4&6\end{bmatrix} \\\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2c-4=-10\Rightarrow c=3\\-3-b=-4\Rightarrow b=1\\2-a=-b+9\Rightarrow 2-a=-1+9 \Rightarrow a=-6\end{matrix}\right.\\\\\Rightarrow a+b+c=-6+1+3=-2$

(jawab : B)

Nomor 15

Diketahui koordinat A(0,0,0), B(–1,1,0), C(1, –2,2). Jika sudut antara $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{AC}$ adalah α maka cos α = ….
$(A).\frac{1}{2}\sqrt{2}\\(B).\frac{1}{2}\\(C).0\\(D).-\frac{1}{2}\\(E).-\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Penyelesaian :

Vektor $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{AC}$ dapat dinyatakan sebagai berikut :
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} ;\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 1\\ -2\\ 2 \end{pmatrix}$
Sehingga :
$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\left | \overrightarrow{AB} \right |\left | \overrightarrow{AC} \right |}=\frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\O\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{(1)^2+(-2)^2+2^2}}\\\\\\ =\frac{(-1)(1)+(1)(-2)+(0)(2)}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{9}}=\frac{-3}{3\sqrt2}=-\frac{1}{2}\sqrt2$

(jawab : E)

Nomor 16

Diketahui titik A(3,2, –1), B(2,1,0), dan C(–1,2,3). Jika $\vec{u}=\overrightarrow{AB}; \vec{v}=\overrightarrow{AC}$ maka proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah ….

$(A).\frac{1}{4}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\\(B).-\hat{i}+\hat{k}\\(C).4(\hat{i}+\hat{k})\\(D).4(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\\(E).8(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$

Penyelesaian :

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\o\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}=-i-j+k$

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\\o\\4\end{pmatrix}=-4i+4k$

Proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ =

$=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left | \vec{u} \right |^2}\vec{v}=\frac{(-i-j+k)\cdot (-4i+4k)}{\left\(\sqrt{(-4)^2+(4)^2}\right)^2}\vec{v}\\\\=\frac{4+4}{32}\vec{v}=\frac{1}{4}\vec{v}=\frac{1}{4}(-4i+4k)=-i+k$

(jawab: B)

Nomor 17

Persmaan bayangan garis y = 2x – 3 yang direfleksikan terhadap garis y = –x dan dilanjutkan garis y = x adalah ….
A. 2y + x + 3 = 0
B. y + 2x – 3 = 0
C. y – 2x – 3 = 0
D. 2y + x – 3 = 0
E. 2y – x – 3 = 0

Penyelesaian :

$(x,y)\xrightarrow[]{Refleksi(y=-x)}(x',y')=(-y,-x)\\\\ (x',y')\xrightarrow[]{Refleksi(y=x)}(x'',y'')=(y',x')\\\\ \Rightarrow \begin{matrix} x'=-y &;y'=-x \\ x''=y'&;y''=x' \end{matrix} \Rightarrow \begin{matrix} y=-x' &;x=-y' \\ y'=x''&;x'=y'' \end{matrix} \Rightarrow \begin{matrix} y=-y''\\x=-x'' \end{matrix}$

Kita substitusikan pada persamaan y=2x-3 :

$-y''=2(-x'')-3 \Rightarrow 0=y''-2x''-3 \Rightarrow y''-2x''-3=0\\\\\Rightarrow y-2x-3=0$

(jawab: C)

Nomor 18

Perhatikan grafik fungsi eksponen berikut !

Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah ….

EKSP

$(A).y=2\log x\\ (B).y=-2 \log x\\(C).y= ^2\log x\\(C).y= ^{\frac{1}{2}}\log x\\(C).y= \frac{1}{2}\log x\\$

Penyelesaian :

$y=2^x\Rightarrow \log y=\log 2^x \Rightarrow \log y=x\log 2 \\\\\Rightarrow x\log 2=\log y \\\\\Rightarrow x=\frac{\log y}{\log 2}\\\Rightarrow x= ^2\log y \\\\\\\Rightarrow invers:y= ^2\log x$

(jawab: C)

Nomor 19

Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165, maka U₁₉ = ….
A. 10
B. 19
C. 28,5
D. 55
E. 82,5

Penyelesaian :

Karena barisan aritmatika, maka

dengan a suku pertama dan b adalah beda.
$U_2+U_{15}+U_{40}=165\\\\\Rightarrow (a+(2-1)b)+(a+(15-1)b)+(a+(40-1)b)=165\\\\\Rightarrow (a+b)+(a+14b)+(a+39b)=165 \\\\\Rightarrow 3a+54b=165\\\Rightarrow 3(a+18b)=165\\\Rightarrow 3(U_{19})=165 \\\Rightarrow U_{19}=\frac{165}{3}=55$

(jawab: D)

Nomor 20

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah ….

$(A).4\\(B).2\\(C).\frac{1}{2}\\(D).-\frac{1}{2}\\(E)-2$

Penyelesaian :

Misal ketiga suku tersebut adalah a, a+b, a+2b maka dari pernyataan “Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14”, dapat ditulis :

a, a+b-1, a+2b membentuk barisan geometri dengan

$a+(a+b-1)+(a+2b)=14\Rightarrow 3a+3b=15\Rightarrow a+b=5$

Karena barisan geometri, maka :

$\frac{a+b-1}{a}=\frac{a+2b}{a+b-1}\\\\\Rightarrow (a+b-1)^2=a(a+2b)\\\Rightarrow (a+b)^2-2(a+b)+1=a^2+2ab \\\Rightarrow a^2+2ab+b^2-2(a+b)+1=a^2+2ab \\\Rightarrow b^2-2(a+b)+1=0 \\\Rightarrow b^2-2(5)+1=0 \\\Rightarrow b^2-10+1=0 \\\Rightarrow b^2=9 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=3\Rightarrow a+3=5 \Rightarrow a=2\\ b=-3 \Rightarrow a+(-3)=5 \Rightarrow a=8 \end{matrix}\right.$

Sehingga :

$\begin{matrix} rasio=\frac{a+b-1}{a}=\frac{2+3-1}{2}=2\\\\ atau\\\\ rasio=\frac{a+b-1}{a}=\frac{8+(-3)-1}{2}=2 \end{matrix}$

(jawab: B)

Nomor 21

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah ….

$(A).\begin{matrix}\frac{3}{5}\sqrt{5}&cm\end{matrix}\\\\(B).\begin{matrix}\frac{9}{5}\sqrt{5}&cm\end{matrix}\\\\(C).\begin{matrix}\frac{18}{5}\sqrt{5}&cm\end{matrix}\\\\(D).\begin{matrix}\frac{18}{5}\sqrt{10}&cm\end{matrix}\\\\(E).\begin{matrix}5\sqrt{5}&cm\end{matrix}$

Penyelesaian :

Bisa digambar sebagai berikut :

dim31

Dan

$BT=\sqrt{BC^2+CT^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\\\\EB=\sqrt{EA^2+AB^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\\\\ET=\sqrt{6^2+6^2+3^2}=\sqrt{81}=9$

Untuk mencari jarak E ke BT yang tidak lain adalah panjang garis yang ditarik dari E tegak lurus ke BT pertama dicari luas segitiga EBT. Luas segitiga EBT dapat dicari dengan rumus :

$L=\frac{1}{2}(EB)(ET)\sin \angle {BET}$

Nilai sinus sudut BET dapat dicari melalui hukum cosinus sebagai berikut:

$BT^2=ET^2+EB^2-2(ET)(EB)\cos \angle {BET}\\\Rightarrow (3\sqrt5)^2=9^2+(6\sqrt2)^2-2(9)(6\sqrt2)\cos \angle {BET} \\\Rightarrow 45=81+72-(108\sqrt2)\cos \angle {BET} \\\Rightarrow (108\sqrt2)\cos \angle {BET}=81+72-45 \\\Rightarrow \cos \angle {BET}=\frac{108}{108\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\\\\\Rightarrow \sin \angle {BET}=\sqrt{1-\left ( \frac{1}{\sqrt2} \right )^2}=\frac{1}{\sqrt2}$

Sehingga luas segitiga EBT adalah :

$L=\frac{1}{2}(EB)(ET)\sin \angle {BET}\\\\\Rightarrow L=\frac{1}{2}(6\sqrt2)(9)\frac{1}{\sqrt2}=27$

Luas segitiga EBT juga ditunjukkan dengan rumus :

$L=\frac{1}{2}(BT)(t)\\\\\Rightarrow t=\frac{2L}{(BT)}=\frac{2(27)}{3\sqrt5}=\frac{18}{\sqrt5}=\frac{18}{5}\sqrt5$

Jadi jarak E ke BT adalah $\frac{18}{5}\sqrt5$ cm. (jawab : C )

Nomor 22

Diketahu kubus ABCD.EFGH. Nilai kosinus sudut antara CF dan bidang ACH adalah ….

$(A).\frac{1}{6}\sqrt3 \\(B).\frac{1}{3}\sqrt3\\(C).\frac{1}{2}\sqrt3\\(A).\frac{2}{3}\sqrt3\\(E)\sqrt3$

Penyelesaian :

Misalkan sudut antara CF dan bidang ACH adalah α, maka gambarnya adalah :

dim32

Nilai cosinus sudut α dapat dicari dengan hukum cosinus. Lebih dulu misalkan panjang rusuk kubus 1, maka :

$FC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2 \\FM=\sqrt{FE^2+EM^2}=\sqrt{1^2+\left ( \frac{1}{2}\sqrt2 \right )^2}=\frac{1}{2}\sqrt6 \\CM=\sqrt{CD^2+DM^2}=\sqrt{1^2+\left ( \frac{1}{2}\sqrt2 \right )^2}=\frac{1}{2}\sqrt6$

Dari hukum cosinus, maka :

$FM^2=CF^2+CM^2-2(CF)(CM)\cos \alpha \\\\\Rightarrow \left ( \frac{1}{2}\sqrt6 \right )^2=\left ( \sqrt2 \right )^2+\left ( \frac{1}{2}\sqrt6 \right )^2-2\left ( \sqrt2 \right )\left ( \frac{1}{2}\sqrt6 \right )\cos \alpha \\\Rightarrow 0=\left ( \sqrt2 \right )^2-2\left ( \sqrt2 \right )\left ( \frac{1}{2}\sqrt6 \right )\cos \alpha \\\Rightarrow 0=2-2\sqrt3 \cos \alpha \\\cos \alpha=\frac{2}{2\sqrt3}=\frac{1}{3}\sqrt3$

(jawab: B )

Nomor 23
Luas segitiga beraturan dengan panjang jari – jari lingkaran luar 8 cm adalah ….
A. 192 cm²
B. 172 cm²
C. 162 cm²
D. 148 cm²
E. 144 cm²

Penyelesaian :

Segitiga beraturan berarti segitiga sama sisi, dapat digambar sebagai berikut :

lingkaran1

Segitiga dalam lingkaran tersebut dapat dipecah menjadi 3 segitiga sama kaki dengan sisi 8 cm, 8 cm, dan S cm. Sudut α yang tidak lain sudut segi-3 beraturan besarnya 360^o /3 =120^o.

Luas segitiga dihitung sebagai sebagai 3 kali luas segitiga sama kaki sebagai berikut :

$L=3 \times \left ( \frac{1}{2}\times 8 \times 8 \times \sin 120^o \right )\\\\\Rightarrow L=3 \times \left (32 \times \frac{1}{2}\sqrt3 \right )\\\\\Rightarrow L=48\sqrt3$

(jawab : — )

Nomor 24

Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = $3\sqrt3$ cm, dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….

prism

$(A).55\sqrt2 \\(B).60\sqrt2 \\(C).75\sqrt3 \\(D).90\sqrt3 \\(E).120\sqrt3$

Penyelesaian :

Alas prisma merupakan segitiga siku-siku karena memenuhi rumus phytagoras sebagai berikut :

$BC^2+AC^2=\left ( 3\sqrt{3} \right )^2+3^2=27+9=36=6^2= AB^2.$

Siku-siku di titik C. Sehingga luas alasnya :

$L=\frac{1}{2} \times 3 \times \left ( 3\sqrt{3} \right )=\frac{9}{2}\sqrt3$

Volume prisma :

$V=L \times t=\frac{9}{2}\sqrt3 \times 20=90\sqrt3$

(jawab: D)

Nomor 25

Himpunan penyelesaian persamaan $2\cos^2x-3\cos x+1=0\begin{matrix} &untuk&\end{matrix}0<x<2\pi$ adalah ….

$(A).\left \{ \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6} \right \} \\(B).\left \{ \frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6} \right \} \\(C).\left \{ \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3} \right \} \\(D).\left \{ \frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3} \right \} \\(E).\left \{ \frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3} \right \}$

Penyelesaian :
$2\cos^2x-3\cos x+1=0 \\\Rightarrow \left ( 2\cos x -1 \right )\left ( \cos x -1 \right )=0 \\\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2\cos x -1=0 \\\\\cos x -1=0 \end{matrix}\right. \\\\\left\{\begin{matrix} \cos x=\frac{1}{2}\left\{\begin{matrix} x=\frac{\pi}{3}+k(2\pi)=\frac{\pi}{3}&untuk&k=0\\\\x=-\frac{\pi}{3}+k(2\pi)=\frac{4\pi}{3}&untuk&k=1 \end{matrix}\right \\\\\cos x =1\Rightarrow x=0+k(2\pi)=0;2\pi&untuk&k=0;1 \end{matrix}\right.$

Yang memenuhi $0<x<2\pi$ adalah $\left \{ \frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3} \right \}$ . (jawab : E)

Nomor 26

Hasil dari $\frac{\sin(60-a)^o+\sin(60+a)^o}{\sin(30+a)^o+\sin(30-a)^o}=....$

$(A).-\sqrt{3}\\(B).-\frac{1}{3}\sqrt{3}\\(C).\frac{1}{3}\sqrt{3}\\(D).1\\(E).\sqrt{3}$

Penyelesian :

$\frac{\sin(60-a)^o+\sin(60+a)^o}{\sin(30+a)^o+\sin(30-a)^o}\\\\=\frac{\sin \left ( (60-a)^o+(60+a)^o \right )\cos \left ( (60-a)^o-(60+a)^o \right )}{\sin \left ( (30+a)^o+(30-a)^o \right )\cos \left ( (30+a)^o-(30-a)^o \right } \\\\=\frac{\sin \left ( 120^o \right )\cos \left (-2a^o \right )}{\sin \left ( 60^o \right )\cos \left ( 2a^o \right) }\\\\=\frac{\sin \left ( (180-60)^o \right )\cos \left (2a^o \right )}{\sin \left ( 60^o \right )\cos \left ( 2a^o \right) }\\\\=\frac{\sin \left ( 60^o \right )\cos \left (2a^o \right )}{\sin \left ( 60^o \right )\cos \left ( 2a^o \right) }=1$

(jawab: D)

Nomor 27

Diketahui $(A+B)=\frac{\pi}{3}$ dan $\sin A \sin B=\frac{1}{4}$ . Nilai dari $\cos(A-B)=....$

$(A).-1\\(B).-\frac{1}{2}\\(C).\frac{1}{2}\\(D).\frac{3}{4}\\(E).1$

Penyelesaian :

$\cos\left ( A+B \right )=\cos \left ( \frac {\pi}{3} \right )\\\\\Rightarrow \cos A \cos B - \sin A \sin B=\frac{1}{2}\\\\\Rightarrow \cos A \cos B - \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\\\\Rightarrow \cos A \cos B = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Sehingga :

$\cos\left ( A-B \right )\\\\= \cos A \cos B + \sin A \sin B \\\\= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}=1$

(jawab : E)

Nomor 28

Nilai $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(4x)-\sin(2x)}{6x}=....$

$(A).1\\\\(B).\frac{2}{3}\\\\(C).\frac{1}{2}\\\\(D).\frac{1}{3}\\\\(E).\frac{1}{6}$

Penyelesaian :

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(4x)-\sin(2x)}{6x}\\\\=\lim_{x \to 0}\frac{\sin(4x)+\sin(-2x)}{6x}\\\\=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin \left(\frac{4x+(-2x)}{2}\right)\cos \left ( \frac{4x-(-2x)}{2} \right )}{6x} \\\\=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\cos 3x}{6x}=\lim_{x \to 0}\frac{2}{6}\times\frac{\sin x}{x}\times\cos 3x=\frac{2}{6}\times 1 \times\cos 0 \\\\=\frac{1}{3}.$

(jawab : D)

Nomor 29

Koordinat titik potong garis singgung yang melalui titik $\left ( -1,\frac{9}{2} \right )$ pada kurva $y=\frac{1}{2}x^2-\frac{4}{x}$ dengan sumbu Y adalah ….

$(A).\left ( 0,-4 \right )\\\\(B).\left ( 0,-\frac{1}{2} \right )\\\\(C).\left ( 0,\frac{9}{2} \right )\\\\(D).\left ( 0,\frac{15}{2} \right )\\\\(E).\left ( 0,8 \right )$

Penyelesaian :

Gradien garis singgung dapat dicari sebagai berikut :
$\frac{dy}{dx}=x+\frac{4}{x^2}\\\\\Rightarrow gradien,m=\left.\begin{matrix}\frac{dy}{dx}\end{matrix}\right|_{x=-1}=-1+\frac{4}{(-1)^2}=3$

Persamaan garis singgung dicari sebagai berikut :

$y-\frac{9}{2}=3\left ( x-(-1) \right )\\\\\Rightarrow y=3x+3+\frac{9}{2} \\\\\Rightarrow y=3x+\frac{15}{2}$

memotong sumbu Y untuk x=0, jadi

$y=3(0)+\frac{15}{2}=\frac{15}{2}\Rightarrow \left ( 0,\frac{15}{2} \right )$ (jawab : D)

Nomor 30

Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar $\left ( 9.000+1.000x+\frac{1}{2}x^2 \right )$ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp. 5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ….

A. Rp. 149.000,00

B. Rp. 249.000,00

C. Rp. 391.000,00

D. Rp. 609.000,00

E. Rp. 757.000,00

Penyelesaian :

Soal Matematika SMA dan Penyelesaian

21 Des 2011 443 Komentar

by Raharja in Matematika SMA XII, Soal Latihan UN Tag:differensial, fungsi, integral, kuadrat, logaritma, matematika sma, trigonometri

Nomor 1

Jika $^{9}\log{18}=m-1$ , maka $^{36}\log{128}=...$ .

Penyelesaian :

Langkah pertama :

$^{9}\log{18}=m-1 \\\Rightarrow ^{9}\log{\(9\times 2)}=m-1\\\Rightarrow^{9}\log{9}+^{9}\log{2}=m-1 \\\Rightarrow 1+^{9}\log{2}=m-1 \\\Rightarrow ^{9}\log{2}=m-2 \\\Rightarrow ^{2}\log{9}=\frac{1}{m-2}$

Langkah kedua :

$^{36}\log{128}\\=\frac{1}{^{128}\log{36}}\\=\frac{1}{^{128}\log{4}+^{128}\log{9}}\\=\frac{1}{^{2^7}\log{2^2}+^{2^7}\log{9^1}}\\=\frac{1}{\frac{2}{7}\(^{2}\log{2})+\frac{1}{7}\(^{2}\log{9})}\\=\frac{1}{\frac{2}{7}\(1)+\frac{1}{7}\(\frac{1}{m-2})}\\=\frac{7}{\frac{2(m-2)+1}{m-2}}\\=\frac{7(m-2)}{2(m-2)+1}\\=\frac{7m-14}{2m-3}$ selesai

Nomor 2:

Diketahui $^{2}\log{5}=a$ dan $^{7}\log{2}=b$ , maka $^{35}\log{98}=...$ .

Penyelesaian :

$^{2}\log{5}=a \Rightarrow ^{5}\log{2}=\frac{1}{a} \\ ^{7}\log{2}=b \Rightarrow ^{2}\log{7}=\frac{1}{b}$

Kemudian :

$^{35}\log{98}\\=^{35}\log{\(2\times 7^2)}\\=^{35}\log{2}+^{35}\log{7^2}\\=^{35}\log{2}+2 \times \(^{35}\log{7})\\=\frac{1}{^{2}\log{35}}+\frac{2}{^{7}\log{35}}\\=\frac{1}{^{2}\log{5}+^{2}\log{7}}+\frac{2}{^{7}\log{7}+^{7}\log{5}}\\=\frac{1}{^{2}\log{5}+^{2}\log{7}}+\frac{2}{^{7}\log{7}+\(^{7}\log{2}) \times \(^{2}\log{5})}\\=\frac{1}{a+\frac{1}{b}}+\frac{2}{1+ba}\\=\frac{1}{\frac{ab}{b}+\frac{1}{b}}+\frac{2}{ab+1}\\=\frac{b}{ab+1}+\frac{2}{ab+1}\\=\frac{b+2}{ab+1}$ selesai

Nomor 3 :

Supaya $y=\: ^x \log$x^2-5x+6$$ terdefinisi maka haruslah ….

A. x < 2 atau x > 3

B. 0 < x < 2 atau x > 3

C. 0 < x < 1 atau x > 3

D. 0 < x < 1 atau 1 < x < 2

E. 0 < x < 1 atau 1 < x < 2 atau x > 3

Penyelesaian :

Ingat bahwa $^p \log q$ terdefinisi jika p, q > 0. Sehingga

$x>0\: \: dan\: \: x^2-5x+6>0 \\\\\Rightarrow x>0\: \: dan\: \: (x-2)(x-3)>0 \\\\\Rightarrow x>0\: \: dan\: \:$ x<2 \:\: atau \:\: x>3$ \\\\\Rightarrow $x>0\: \: dan\: \:x<2$ \:\: atau $\:\:x>0 \:\: dan \:\: x>3$\\\\\Rightarrow 0<x<2 \:\: atau \:\: x>3$

Jawab (C)

Matrik

10 Sep 2011 Tinggalkan komentar

by Raharja in Matematika SMA XII

Matrik adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi dalam bentuk segiempat. Masing-masing individu dalam matrik disebut dengan elemen atau entri.

Matrik dilambangkan dengan huruf kapital. Ukuran matrik ditulis dengan m x n , dimana m adalah jumlah baris dan n jumlah kolom. Contoh matrik berukuran 2 x 3 adalah :

$\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 4\\ -3 & 7 & 0,3 \end{bmatrix}$

Misal matrik tersebut dinamakan matrik A dengan elemen-elemen $a_{ij}$ , maka

$a_{11}=1 ; a_{12}=\frac{1}{2};a_{13}=4;a_{21}=-3;a_{22}=7;a_{23}=0,3$

Operasi pada Matrik

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada matrik dilakukan pada elemen yang posisinya sama, jadi penjumlahan dan pengurangan pada matrik hanya mungkin untuk matrik yang berukuran sama. Misal matrik berukuran 2 x 2 juga hanya bisa dijumlah atau dikurang dengan matrik 2 x 2, tidak bisa dengan misalnya matrik 2 x 3.

Contohnya :

1. $\begin{bmatrix} -4 &1 \\ 7& 5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3 &-2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 &-1 \\ 9& 6 \end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix} 3 & x\\ -1 & 2\\ 3x& 7 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & -x\\ 3& 7\\ x& 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &2x \\ -4&-5 \\ 2x&5 \end{bmatrix}$

2. Perkalian

Perkalian matrik didefinisikan sebagai berikut :

Untuk baris pertama kali kolom pertama, yaitu :

$R_1 \times C_1 =\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1n} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_{11}\\ b_{21} \\ \cdots \\ b_{n1} \end{bmatrix}\\\\=\begin{bmatrix} a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+\cdots+a_{n1}\cdot b_{n1} \end{bmatrix}$

Nilai dari hasil perkalian tersebut ditempatkan pada posisi baris pertama kolom pertama pada matrik hasil perkalian.

Contoh :

1. $\begin{bmatrix} 2 &3 \\ 4& 5 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 6 &7 \\ 8& 9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \cdot 6 + 3 \cdot 8& 2 \cdot 7 + 3 \cdot 9\\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 8 & 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 36 & 41\\ 64 & 73 \end{bmatrix}$

Soal integral tertentu XII ipa

09 Agu 2011 4 Komentar

by Raharja in Integral

11. a.
$\int_{0}^{2\pi}$\sin \theta +\cos \theta $d\theta \\ = \[-\cos \theta+\sin \theta]_{0}^{2\pi} \\= \[-\cos 2\pi+\sin 2\pi]-\[-\cos 0+\sin 0]\\=\[-1+0]-\[-1+0]\\=0$

11.b.

$\int_{\frac{5\pi}{6}}^{\frac{3\pi}{2}}\(\cos t-\sin t)dt \\=\[\sin t+\cos t]_{\frac{5\pi}{6}}^{\frac{3\pi}{2}}\\=\[\sin \frac{3\pi}{2} +\cos \frac{3\pi}{2}]-\[\sin \frac{5\pi}{6}+\cos \frac{5\pi}{6}]\\=\[-1+0]-\[\frac{1}{2}+\(-\frac{1}{2}\sqrt3)]\\=\frac{1}{2}\sqrt3-1\frac{1}{2}$

11.c.

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\(4\cos \theta-1)d\theta \\=\[4\sin \theta-\theta]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\\=\[4\sin \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}]-\[4\sin \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}]\\=\[4(1)-\frac{\pi}{2}]-\[4(\frac{1}{2}\sqrt3)-\frac{\pi}{3}]\\=\[4-\frac{\pi}{2}]-\[2\sqrt3-\frac{\pi}{3}]\\=\4-2\sqrt3-\frac{\pi}{6}$

13.a. Diketahui $y=\frac{x}{2x-4}$ dan $\frac{dy}{dx}=4f(x)$ dimana f(x) ialah fungsi dalam x . Hitung nilai dari $\int_{0}^{1}f(x)dx$ .

Jawab : $y=\frac{x}{2x-4}$ maka :

$\frac{dy}{dx}=4f(x)\Rightarrow dy=4f(x)dx\\\Rightarrow \int dy=\int 4f(x)dx\\\Rightarrow y=4\int f(x)dx\\\Rightarrow \int f(x)dx=\frac{1}{4}y+C\\\Rightarrow \int f(x)dx=\frac{1}{4}\(\frac{x}{2x-4})+C=\frac{x}{8x-16}+C$

Sehingga

$\int_{0}^{1} f(x)dx=\[\frac{x}{8x-16}]_{0}^{1}=\frac{1}{8-16}-\frac{0}{0-16}=-\frac{1}{8}$

Soal Ibu Masyitah

20 Jul 2011 Tinggalkan komentar

by Raharja in Integral Tak Tentu

(1) $\int 2x^{n-1}dx=\frac{2}{n-1+1}x^{n-1+1}+C=\frac{2}{n}x^n+C$

(2) $\int x(4-3x)dx=\int (4x-3x^2)dx=2x^2-x^3+C$

Soal Integral dan Pembahasan

02 Okt 2010 2 Komentar

by Raharja in Integral

Penyelesaian :

$\int \left ( \sqrt{x}+\frac{3}{x^2} \right )dx=\int \left ( x^{\frac{1}{2}}+3x^{-2} \right )dx \\ \\ =\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+\frac{3}{-2+1}x^{-2+1}+C \\ \\ =\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{-1}x^{-1}+C \\ \\=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{3}{x}+C$ jawab (C)

Penyelesaian :

Fungsi kurva dapat dicari dengan integral sebagai berikut :

$\frac{dy}{dx}=6x^2-2x+1 \Rightarrow dy=\left(6x^2-2x+1 \right )dx \\ \\ \Rightarrow \int dy=\int \left(6x^2-2x+1 \right )dx \\ \\ \Rightarrow y=\int \left(6x^2-2x+1 \right )dx \\ \\ \Rightarrow y=2x^3-x^2+x+C$

Untuk mencari nilai C kita dapat menghitungnya dengan kenyataan bahwa fungsi melalui titik (1, 4) atau f(1) = 4, sehingga :

$f(1)=4 \Rightarrow 2(1)^3-(1)^2+1+C=4 \Rightarrow 2 \times 1 -1+1+C=4 \\ \\ \Rightarrow 2+C=4 \Rightarrow C=2.$

Sehingga fungsi kurva dapat kita tulis :

Jawab (C)

Penyelesaian :
Kita menyelesaikan integral ini dengan mengingat rumus trigonometri berikut :
==========================
$\sin 2x=2\sin x \cos x$
==========================
Dengan menggunakan rumus di atas, maka
$\sin 4x \cos 4x = \frac{1}{2} \sin 8x$
Sehingga integralnya dapat kita hitung sebagai berikut :
$\int \sin 4x \cos 4x dx= \int \frac{1}{2} \sin 8x dx$
Misalkan y=8x maka dy=8dx atau dx=(1/8)dy, jadi
$= \int \frac{1}{2} \sin y \left( \frac{1}{8}dy \right )=\frac{1}{16} \int \sin y dy \\ \\=-\frac{1}{16} \cos y +C = -\frac{1}{16} \cos 8x +C$
Jawab (C)

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan integral ini, kita mengingat rumus-rumus berikut :
===========================
$\cos 2x=2\cos^2x-1 \\ \cos 2x=1-2\sin^2x \\ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$
===========================
atau dapat juga ditulis :
===========================
$\cos^2x=\frac{1}{2}\left(\cos 2x+1 \right ) \\ \sin^2x=\frac{1}{2}\left(1-\cos 2x \right )$
===========================

Jadi,
$\cos^23x=\frac{1}{2}\left(\cos 6x+1 \right )$

Dan integral dapat ditulis sebagai berikut :
$\int \cos^23x dx=\int \frac{1}{2}\left(\cos 6x+1 \right ) dx \\ \\ =\frac{1}{2}\times \left( \frac{1}{6}\sin6x+x\right ) +C=\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\sin6x +C.$
Jawab (D)

Penyelesaian :
Kiita dapat menyelesaikan integral ini dengan substitusi karena $\frac{d}{dx}\left(x^3+\pi \right )=3x^2$ , sehingga jika kita misalkan $y=x^3+\pi$ , akan kita peroleh $\frac{dy}{dx}=3x^2$ atau atau $x^2dx=\frac{1}{3}dy$ .
Sehingga integral dapat kita tulis :

$\int x^2 \sin \left(x^3+\pi \right )dx=\int \sin \left(x^3+\pi \right )x^2dx \\ \\ =\int \sin y \left(\frac{1}{3}dy \right )=\frac{1}{3}\int \sin ydy\\ \\=-\frac{1}{3}\cos y+C \\ \\=-\frac{1}{3}\cos \left(x^3+\pi \right )+C$
Jawab (A)

Penyelesaian :

$\int_{-1}^{2}\left(x+3 \right )\left(x-1 \right )dx =\int_{-1}^{2}\left(x^2+2x-3 \right )dx \\ \\ =\left[\frac{1}{3}x^3+x^2-3x \right ]_{-1}^{2}\\ \\ =\left(\frac{1}{3}(2)^3+(2)^2-3(2) \right )-\left(\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2-3(-1)\right )\\ \\ =\left(\frac{8}{3}+4-6\right )-\left(\frac{-1}{3}+1+3\right)\\ \\ =\left(\frac{8}{3}-2\right )-\left(\frac{-1}{3}+4\right) \\ \\ =\left(\frac{8}{3}-\frac{6}{3}\right )-\left(\frac{-1}{3}+\frac{12}{3}\right) \\ \\ =\frac{2}{3}-\frac{11}{3} \\ \\ =\frac{-9}{3}=-3.$

Jawab (C)

Penyelesaian :
$\int_{1}^{2} \left( \frac{x-1}{x^3}\right)dx=\int_{1}^{2} \left(x^{-2}-x^{-3} \right)dx \\ \\ =\left[\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+\frac{1}{-3+1}x^{-3+1} \right ]_{1}^{2} \\ \\ =\left[-x^{-1}-\frac{1}{2}x^{-2}\right ]_{1}^{2} \\ \\ =\left[-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}}\right ]_{1}^{2} \\ \\ =\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2)^{2}}\right)-\left(-\frac{1}{1}-\frac{1}{2(1)^{2}}\right) \\ \\ =\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)-\left(-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) \\ \\ =\left(-\frac{5}{8}\right)-\left(-\frac{3}{2}\right)\\ \\ =-\frac{5}{8}+\frac{3}{2}=\frac{7}{8}.$
Jawab (C)

Penyelesaian :
$\int_{1}^{a} \left( 4x+3\right)dx=-3 \\ \\ \Rightarrow \left[2x^2+3x \right ]_{1}^{a}=-3 \\ \\ \Rightarrow \left(2a^2+3a\right)-\left(2(1)^2+3(1)\right)=-3 \\ \\ \Rightarrow 2a^2+3a-5=-3 \\ \\ \Rightarrow 2a^2+3a-2=0 \\ \\ \Rightarrow \left(2a-1\right )\left(a+2\right )=0.$
Sehingga 2a-1=0 ==> a=1/2, atau
a+2=0 ==> a=-2.
Jawab (C)

Penyelesaian :
$\int_{a}^{b} \frac{dx}{x^2} =\int_{a}^{b} x^{-2}dx=\left[\frac{1}{-2+1}x^{-2+1} \right ]_{a}^{b} \\ \\=\left[-\frac{1}{x}\right ]_{a}^{b}=-\frac{1}{b}-\left(-\frac{1}{a}\right)=-\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{b-a}{ab}.$
Jawab (B)

Penyelesaian :
$\int_{0}^{3}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx +\int_{1}^{3}f(x)dx \\ \\=\int_{0}^{1}f(x)dx -\int_{3}^{1}f(x)dx \\ \\=\int_{0}^{1}f(x)dx -\frac{1}{2}\int_{3}^{1}2f(x)dx \\ \\ =2-\frac{1}{2}(2)=2-1=1.$
Jawab (D)

Penyelesaian :
$\int_{0}^{1}f(x)dx=1 \Rightarrow \int_{0}^{1}\left(ax+b\right)dx=1 \Rightarrow \left[\frac{a}{2}x^2+bx\right]_{0}^{1}=1 \\ \\ \Rightarrow \frac{1}{2}a+b=1 \dots (i)\\ \\\int_{1}^{2}f(x)dx=5 \Rightarrow \int_{1}^{2}\left(ax+b\right)dx=1 \Rightarrow \left[\frac{a}{2}x^2+bx\right]_{1}^{2}=1 \\ \\ \Rightarrow \frac{3}{2}a+b=5 \dots(ii)$

Dari persamaan (i) dan (ii) kita peroleh dengan eliminasi,
$\left(\frac{3}{2}a+b\right )-\left(\frac{1}{2}a+b\right )=5-1 \\ \\ a=4 \;\;dan\;\;dari\;\;\frac{1}{2}a+b\right=1\;\;diperoleh\;\;\\ \\\frac{1}{2}(2)+b=1 \Rightarrow b=0\;\;sehingga\;\;a+b=4.$
Jawab (B)

Penyelesaian :

Untuk bisa menghitung luas daerah tersebut, kita harus tahu bagaimana gambarnya untuk menentukan bagaimana batasan-batasan integralnya.

Sehingga kita mesti tahu bagaimana menggambar y=x²+1 dan y=3-x, gambarnya adalah sebagai berikut, kita lihat batas-batas daerahnya terletak pada titik perpotongan kedua kurva, jadi kita cari dulu titik potongnya sbb :
$x^2+1=3-x \Rightarrow x^2+1-3+x=0 \Rightarrow x^2+x-2=0 \\ \\ \Rightarrow \left(x+2 \right )\left(x-1 \right )=0 \Rightarrow x=-2 \;\; atau \;\;x=1.$
Karena untuk daerah yang dimaksud kurva y=3-x berada di atas y=x²+1, maka luasnya adalah :
$L=\int_{-2}^{1}\left(3-x-\left(x^2+1 \right ) \right )dx =\int_{-2}^{1}\left(2-x-x^2 \right )dx \\ \\=\left[2x-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3 \right ]_{-2}^{1} \\ \\=\left[2(1)-\frac{1}{2}(1)^2-\frac{1}{3}(1)^3 \right ]-\left[2(-2)-\frac{1}{2}(-2)^2-\frac{1}{3}(-2)^3 \right] \\ \\=1\frac{1}{6}-\left(-3\frac{1}{3}\right)=4\frac{1}{2}.$

Penyelesaian :

Rumus Integral untuk 3 SMA

27 Sep 2010 Tinggalkan komentar

by Raharja in Integral Tak Tentu

Pada prinsipnya untuk 3 SMA hanya digunakan rumus-rumus berikut :

Sebagai catatan, untuk yang lebih komplek, dibantu dengan rumus-rumus differensial dan identitas trigonometri.

Berikut contoh-contohnya :

$(i)\; \; \int 4dx=4x+C \\ \\ (ii)\; \; \int 2x^3dx=\frac{2}{3+1}x^{3+1}+C=\frac{1}{2}x^{4}+C \\ \\ (iii)\; \; \int 3 \sin x dx =-3 \cos x +C$
$(iv)\; \; \int \sin 2x dx \\ Misal: \; y=2x \; maka \; dy=2dx \Rightarrow dx=\frac{1}{2}dy \\ \int \sin2x dx=\int \sin y$\frac{1}{2}dy$=\frac{1}{2}\int \sinydy=-\frac{1}{2}\cos y+C=-\frac{1}{2}\cos 2x+C \\ \\ (v)\; \; \int $8x^3+2x\sqrt x$dx \\ =\int $8x^3+2x^{1 \frac{1}{2}}$dx=\frac{8}{4}x^{4}+\frac{2}{2 \frac{1}{2}}x^{2 \frac{1}{2}}+C=2x^4+\frac{4}{5}x^{2}\sqrt x+C$

$(vi)\; \; \int \sin 3x \cos x dx \\ karena \; \sin 3x \cos x=\frac{1}{2}$\sin(3x+x)+\sin(3x-x)$=\frac{1}{2}$\sin4x+\sin2x$ \\ maka \;\int \sin 3x \cos x dx \\ \\ \;\;\;\;= \frac{1}{2}\int $\sin4x+\sin 2x$dx \\=\frac{1}{2}$-\frac{1}{4}\cos 4x-\frac{1}{2}\cos 2x$+C \\=-\frac{1}{8} \cos 4x-\frac{1}{4}\cos 2x+C$

Pengertian Integral

27 Sep 2010 1 Komentar

by Raharja in Integral

Integral is a number computed by a limiting process in which the domain of a function, often an interval or planar region, is divided into arbitrarily small units, the value of the function at a point in each unit is multiplied by the linear or areal measurement of that unit, and all such products are summed. (dikutip dari http://www.thefreedictionary.com/integral)

Pengintegralan merupakan invers (kebalikan) dari pendifferensialan, jadi rumus2 integral dapat dirunut dari rumus differensial.

Belajar Matematika dan Sains SMP-SMA

Latihan logaritma

Integral Substitusi (Contoh)

Soal-soal dan Pembahasan Matematika UN

Soal Matematika SMA dan Penyelesaian

Matrik

Soal integral tertentu XII ipa

Soal Ibu Masyitah

Soal Integral dan Pembahasan

Rumus Integral untuk 3 SMA

Pengertian Integral

Daftar Topik

Gambar

Kalender

Kontributor