Bahas Soal OSK Matematika 2009







Karena terlalu panjang, saya lanjutkan dengan excel :




Variabel q sebagai indikator, jadi diperoleh sebanyak 352.



 
Di sini n bisa genap maupun ganjil walaupun ada penyebut 2, karena baik genap atau ganjil akan memberikan nilai bilangan asli.
 




Kita lihat tidak ada penyelesaian yang terdapat pada daerah domain pada gambar berikut :
 

Sehingga himpunan penyelesaian = {}.

 






Iklan

Gambar

Contoh Penggunaan Teorema Ceva dan Menelaus

Contoh 1 : (IMO 1982-5)

Diagonal AC dan CE pada segienam beraturan ABCDEF terbagi menjadi dua bagian oleh berturut-turut titik M dan N, sehingga AM / AC = CN / CE = r. Tentukan r jika B, M, dan N kolinear (segaris).

Penyelesaian :

Akibat-akibat Teorema Ceva dan Menelaus

Berikut adalah akibat-akibat dari teorema Ceva dan Menelaus :

1. Tiga median dari sembarang segitiga adalah konkuren (berpotongan pada satu titik). Titik perpotongannya disebut centroid (pusat massa) dari segitiga.

2. Tiga garis tinggi sembarang segitiga adalah konkuren (berpotongan pada satu titik). Titik perpotongannya disebut orthocenter (pusat ketegaklurusan) dari segitiga.

3. Tiga garis pembagi sudut (angle bisector) adalah konkuren (berpotongan pada satu titik). Titik perpotongannya disebut incenter (pusat lingkaran dalam) dari segitiga. Titik potong 2 garis pembagi sudut luar dan 1 garis pembagi sudut dalam menjadi salah satu pusat lingkaran luar.

Teorema Menelaus dan Konversnya

Bukti :

Perhatikan gambar berikut :

Misalkan X dan Y adalah dua titik sembarang pada garis DEF, maka

{Berlanjut…} Lagi

Teorema Ceva dan Konversnya

Diilustrasikan dengan gambar berikut :

Bukti :

Dengan menggunakan Teorema Perbandingan Luas, diperoleh :

dan tandanya jelas positif. (terbukti)

Karena teorema Perbandingan Luas tidak tergantung pada posisi dari titik ujubg dari kedua ruas garis, maka bukti diatas tetap valid walaupun misalnya titik P terletak di luar segitiga ABC.

Bukti :

Diketahui bahwa ketiga cevian tersebut, yakni AD, BE, dan CF memotong garis-garis BC, CA, dan AB di D, E, dan F sehingga memberikan hasil :

Sekarang misalkan cevian AD dan BE berpotongan di titik P, lalu garis dari titik C yang melalui titik P kita buktikan akan melalui titik F. Dimisalkan dulu bahwa CP memotong AB di titik G misalnya, akan dibuktikan bahwa titik F= titik G.

Dari asumsi dan dari teorema Ceva diatas, maka

{Berlanjut…}

Teorema Sederhana Tentang Perbandingan Luas

Sumber yang digunakan adalah : http://www.mathdb.org/notes_download/elementary/geometry/ge_G1.pdf

Luas merupakan salah satu konsep yang paling menginspirasi dalam matematika. Dari satu sisi sederhana, dimana orang mempelajarinya sejak sekolah dasar. Pada sisi yang lain, membawa pada pengertian penting pada yang dikenal dengan pengukuran, yakni menjadi batu pijakan pada teori pengukuran, dan bahkan juga pijakan bagi cabang-cabang matematika modern. Disini, kita lebih menitikberatkan pada penggunaan luas untuk menyelesaikan masalah (terutama pada tingkat olimpiade).

Teorema tersebut tidak menyebutkan asumsi apapun mengenai posisi dari titik-titik A,B,P, dan Q. Sebagaimana akan kita lihat dalam pembuktiannya, ada empat kemungkinan tergantung pada posisi-posisi titik-titik tersebut.

Sebelum membuktikan teorema tersebut, mari kita ingat lagi bahwa luas segitiga ABC diberikan dengan formula . Ini berarti bahwa jika bernilai tertentu maka luas tersebut berbanding lurus dengan a, sebagai contoh pada gambar berikut :

Dari gambar tersebut, kita peroleh :

Kita gunakan kenyataan diatas untuk membuktikan teorema 1.

Bukti Teorema :

Tanpa kita kehilangan generalitasnya, kita asumsikan semua segitiga yang terbentuk adalah layak segitiga, sekarang kita peroleh :

Terbukti

Empat kemungkinan untuk posisi titik-titik A,B,P, dan Q adalah

Supaya menjadi terbiasa dalam penggunaan teorema 1, kita perhatikan beberapa contoh berikut :

Contoh 1 :

Misalkan P adalah titik di dalam segitiga ABC, perpanjangan garis AP, BP, CP memotong sisi-sisi BC, CA, AB berturut-turut pada titik-titik D,E,F. Buktikan bahwa .

Penyelesaian :

Garis AP dan BC berpotongan di titik D, sehingga berdasar teorema 1 diperoleh :

Garis BP dan AC berpotongan di titik E, sehingga berdasar teorema 1 diperoleh :

Garis CP dan AB berpotongan di titik F, sehingga berdasar teorema 1 diperoleh :

Sehingga :

   (Selesai)

Contoh 2 (IMO 1998 Hong Kong Preliminary Selection Contest) :

Dalam segitiga ABC, titik E, F, dan G berturut-turut terletak pada sisi-sisi AB, BC, dan CA sedemikian hingga

Titik-titik K, L, dan M berturut-turut adalah titik perpotongan dari AF dan CE, BG dan AF, serta CE dan BG. Misalkan luas segitiga ABC adalah 1 satuan luas; Tentukan luas segitiga KLM.

Penyelesaian :

Perhatikan gambar berikut :

Misalkan luas segitiga ABL, (ABL) = s, lalu dilihat bahwa garis AL dan BC berpotongan di titik F, maka berdasar teorema 1, (ABL) : (ACL)=BF : FC=1 :3, sehingga s : (ACL)=1 : 3 kemudian (ACL)=3s . Sekarang perhatikan gambar berikut,

Terlihat bahwa garis BL dan AC berpotongan di G, sehingga menurut teorema 1, (BCL) : (ABL)= CG : GA = 1: 3, diperoleh (BCL) : s = 1 : 3, kemudian (BCL) = s/3 .

Kita tahu dari gambar bahwa (ABL)+(BCL)+(ACL) = (ABC) = 1, maka

s + s/3+ 3s = 1 , diperoleh s = 3/13, dengan kata lain, (ABL) = 3/13 . Dengan cara yang sama bisa ditunjukkan bahwa juga (BCM) = (CAK) = 3/13. Sehingga luas segitiga KLM :

(KLM) = (ABC) – (ABL) – (BCM) – (CAK) = 1 – 3/13 – 3/13 – 3/13 = 4/13 . (Selesai)

Pengantar

Sumber yang digunakan  adalah :  http://www.mathdb.org/notes_download/elementary/geometry/ge_G1.pdf

Notasi. Diberikan sebuah segitiga ABC, kita notasikan panjang ketiga sisinya dengan a = BC, b =CA, c = AB. Panjang garis yang ditarik dari suatu titik sudut ke tengah-tengah sisi di hadapannya (median) dinotasikan dengan , dan panjang dari ketiga tinggi segitiga dinotasikan dengan , panjang ketiga garis pembagi sudut (angle bisector) dinotasikan dengan . Secara visual ditunjukkan dengan gambar-gambar berikut :

 

Luas segitiga ABC kita notasikan dengan (ABC). Notasi-notasi tersebut merupakan notasi standar yang terdapat pada banyak buku. Notasi untuk setengah keliling segitiga biasa dinotasikan dengan s atau p, walaupun keduanya kurang standar, disini kita menggunakan notasi p.