Teorema Sederhana Tentang Perbandingan Luas

Sumber yang digunakan adalah : http://www.mathdb.org/notes_download/elementary/geometry/ge_G1.pdf

Luas merupakan salah satu konsep yang paling menginspirasi dalam matematika. Dari satu sisi sederhana, dimana orang mempelajarinya sejak sekolah dasar. Pada sisi yang lain, membawa pada pengertian penting pada yang dikenal dengan pengukuran, yakni menjadi batu pijakan pada teori pengukuran, dan bahkan juga pijakan bagi cabang-cabang matematika modern. Disini, kita lebih menitikberatkan pada penggunaan luas untuk menyelesaikan masalah (terutama pada tingkat olimpiade).

Teorema tersebut tidak menyebutkan asumsi apapun mengenai posisi dari titik-titik A,B,P, dan Q. Sebagaimana akan kita lihat dalam pembuktiannya, ada empat kemungkinan tergantung pada posisi-posisi titik-titik tersebut.

Sebelum membuktikan teorema tersebut, mari kita ingat lagi bahwa luas segitiga ABC diberikan dengan formula . Ini berarti bahwa jika bernilai tertentu maka luas tersebut berbanding lurus dengan a, sebagai contoh pada gambar berikut :

Dari gambar tersebut, kita peroleh :

Kita gunakan kenyataan diatas untuk membuktikan teorema 1.

Bukti Teorema :

Tanpa kita kehilangan generalitasnya, kita asumsikan semua segitiga yang terbentuk adalah layak segitiga, sekarang kita peroleh :

Terbukti

Empat kemungkinan untuk posisi titik-titik A,B,P, dan Q adalah

Supaya menjadi terbiasa dalam penggunaan teorema 1, kita perhatikan beberapa contoh berikut :

Contoh 1 :

Misalkan P adalah titik di dalam segitiga ABC, perpanjangan garis AP, BP, CP memotong sisi-sisi BC, CA, AB berturut-turut pada titik-titik D,E,F. Buktikan bahwa .

Penyelesaian :

Garis AP dan BC berpotongan di titik D, sehingga berdasar teorema 1 diperoleh :

Garis BP dan AC berpotongan di titik E, sehingga berdasar teorema 1 diperoleh :

Garis CP dan AB berpotongan di titik F, sehingga berdasar teorema 1 diperoleh :

Sehingga :

   (Selesai)

Contoh 2 (IMO 1998 Hong Kong Preliminary Selection Contest) :

Dalam segitiga ABC, titik E, F, dan G berturut-turut terletak pada sisi-sisi AB, BC, dan CA sedemikian hingga

Titik-titik K, L, dan M berturut-turut adalah titik perpotongan dari AF dan CE, BG dan AF, serta CE dan BG. Misalkan luas segitiga ABC adalah 1 satuan luas; Tentukan luas segitiga KLM.

Penyelesaian :

Perhatikan gambar berikut :

Misalkan luas segitiga ABL, (ABL) = s, lalu dilihat bahwa garis AL dan BC berpotongan di titik F, maka berdasar teorema 1, (ABL) : (ACL)=BF : FC=1 :3, sehingga s : (ACL)=1 : 3 kemudian (ACL)=3s . Sekarang perhatikan gambar berikut,

Terlihat bahwa garis BL dan AC berpotongan di G, sehingga menurut teorema 1, (BCL) : (ABL)= CG : GA = 1: 3, diperoleh (BCL) : s = 1 : 3, kemudian (BCL) = s/3 .

Kita tahu dari gambar bahwa (ABL)+(BCL)+(ACL) = (ABC) = 1, maka

s + s/3+ 3s = 1 , diperoleh s = 3/13, dengan kata lain, (ABL) = 3/13 . Dengan cara yang sama bisa ditunjukkan bahwa juga (BCM) = (CAK) = 3/13. Sehingga luas segitiga KLM :

(KLM) = (ABC) – (ABL) – (BCM) – (CAK) = 1 – 3/13 – 3/13 – 3/13 = 4/13 . (Selesai)